符号约定

本文中花体即形如$\mathcal{ABC}$，用来表示映射

黑板粗体即形如$\mathbb{ABC}$，用来表示集合/数域

普通斜体即体即形如$ABC$，用来表示矩阵

小写哥特体即形如$\mathfrak{abc}$，用来表示李代数

大写正体即形如$\mathbf{ABC}$，用来表示李群

基础定义

一个m行n列的矩阵$A\in {\mathbb{F}}^{m\times n}$的零空间(Null Space) or 核空间(Kernal Space):

$$Ker(A)=\{x|Ax=0,x\in {\mathbb{F}}^n\}\subseteq {\mathbb{F}}^n$$
A的列空间(Column Space) or 像空间(Image Space): $$Im(A)=\{Ax|x\in {\mathbb{F}}^n\}\subseteq {\mathbb{F}}^m$$

而$Ax=b$的可解性由其rank决定

$$\begin{gathered} \mathrm{有}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{解}⟺rank(A)=rank(A|b)=n \\ \mathrm{有}\mathrm{解}⟺rank(A)=rank(A|b) \end{gathered}$$

线性映射与矩阵算子

推导

矩阵论的核心思想，就是把所有的线性映射抽象为矩阵算子。

如此，研究矩阵便可以研究所有的线性映射。

具体而言

$$\begin{gathered} \mathcal{A}:\mathbb{V}\to \mathbb{W} \\ dim(\mathbb{V})=n,dim(\mathbb{W})=m \end{gathered}$$

设线性空间$\mathbb{V}$的一组基为$\{{ϵ}_1,{ϵ}_2,...,{ϵ}_n\}$，$\mathbb{W}$的一组基为$\{{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_m\}$

给定$v\in \mathbb{V}$，其在基$\{{ϵ}_1,{ϵ}_2,...,{ϵ}_n\}$下的坐标为$x$

即$v=\sum _{i=1}^n{ϵ}_i{x}_i$

则

$$\begin{array}{rl}\mathcal{A}(v)& =\sum _{i=1}^n\mathcal{A}({ϵ}_i)x_i\\ & =[\mathcal{A}({ϵ}_1),...,\mathcal{A}({ϵ}_n)]x\\ & =[{\eta }_1,...,{\eta }_m]A\end{array}$$

则$\mathcal{A}(v)\in \mathbb{W}$的基$\{{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_m\}$下的坐标为$Ax$

线性映射$\mathcal{A}$的矩阵形式为$A$

微分算子矩阵表示

已知多项式空间${\mathbb{R}}_i[x]$是线性空间。一个微分算子可以进行如下的映射运算：

$$\mathcal{D}:{\mathbb{R}}_4[x]\to {\mathbb{R}}_3[x]$$

此处我们取${\mathbb{R}}_4[x]$的一组线性基向量：$[1,x,x^2,x^3]$

取${\mathbb{R}}_3[x]$的一组线性基向量：$[1,x,x^2]$

则

$$\begin{array}{rl}\mathcal{D}[1,x,x^2,x^3]& =[\mathcal{D}(1),\mathcal{D}(x),\mathcal{D}(x^2),\mathcal{D}(x^3)]\\ & =[0,1,2x,3x^2]\\ & =[1,x,x^2]\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]\end{array}$$

此处的

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]$$

即为微分算子在给定的两组基向量下的矩阵表示。

进而我们可以利用微分算子，直接通过矩阵乘法求解多项式函数的导数。

举个例子，我们求$f(x)=x^3+5x$的导数

显然，$f(x)$在${\mathbb{R}}_4[x]$中

取${\mathbb{R}}_4[x]$的一组线性基向量：$[1,x,x^2,x^3]$

取${\mathbb{R}}_3[x]$的一组线性基向量：$[1,x,x^2]$

在这两组基下，微分算子的矩阵表示即为

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]$$

而$f(x)$在该基下的坐标可求出：

$$f(x)=[1,x,x^2,x^3]\left[\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

用我们此前求得的${\mathbb{R}}_4[x]$上的微分算子，可以直接计算微分。

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right]$$

再代入${\mathbb{R}}_3[x]$的基，最终结果可以表示为

$$\mathcal{D}(f(x))=[1,x,x^2]\left[\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right]$$